문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 전자기파/전자기학의 경계치 문제 (문단 편집) ==== TE 모드 ==== [[파일:나무_평행판도파관_TE_수정.png|width=300&align=center]] 그림과 같이 [math(y<0)]과 [math(y>a)]에는 전기 전도도가 매우 큰 즉, [math(\sigma_{c} \rightarrow \infty)]인 두 도체가 점유하고 있다고 해보자. 중앙의 빈 공간은 진공이라 가정하고, 진공 영역에서 TE 파[* 입사면에 수직인 벡터장이 [[전기장]]인 파.]를 경사 입사한다고 해보자. 두 도체는 전기 전도도가 매우 높으므로 반사 계수는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \tilde{r_{s}} \rightarrow -1 )] }}} 이므로 전자기파는 도체 영역으로 투과되지 않고, 거의 반사된다. 따라서 입사와 반사파 모두 전기장의 진폭은 같으나, 위상이 바뀌게 된다. 또한, TE 모드이므로 전기장은 입사면인 [math(yz)]평면에 수직하므로 [math(\hat{\mathbf{x}})]방향임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 입사파와 반사파는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E_{1}}&=\hat{\mathbf{x}} E_{1}e^{i(\mathbf{k_{1}} \cdot \mathbf{r}-\omega t)} \\ \mathbf{E_{1}'}&=-\hat{\mathbf{x}} E_{1}e^{i(\mathbf{k_{1}'} \cdot \mathbf{r}-\omega t)} \end{aligned} )] }}} 의 형태로 쓸 수 있다. 이것이 도체 경계에서 [math(\theta)]의 각으로 반사되었다고 하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{k_{1}}&=k(\hat{\mathbf{y}}\cos{\theta}+\hat{\mathbf{z}}\sin{\theta}) \\ \mathbf{k_{1}'}&=k(-\hat{\mathbf{y}}\cos{\theta}+\hat{\mathbf{z}}\sin{\theta}) \\ \mathbf{r} &=\hat{\mathbf{y}}y+\hat{\mathbf{z}}z \end{aligned} )] }}} 임을 이용하자. [math(k)]는 진공 영역에서 전자기파의 파수이다. 따라서 위 내용을 종합하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E_{1}}&=\hat{\mathbf{x}} E_{1}e^{iky\cos{\theta}}e^{i(kz\sin{\theta}-\omega t)} \\ \mathbf{E_{1}'}&=-\hat{\mathbf{x}} E_{1}e^{-iky\cos{\theta}}e^{i(kz\sin{\theta}-\omega t)} \end{aligned} )] }}} 가 된다. 그런데 한 광선 만을 그렸지만, 광선 다발이 입사된다면, 도파관 내에 관측되는 전기장은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E_{1}}+\mathbf{E_{1}'}&=\hat{\mathbf{x}} E_{1}e^{iky\cos{\theta}}e^{i(kz\sin{\theta}-\omega t)}-\hat{\mathbf{x}} E_{1}e^{-iky\cos{\theta}}e^{i(kz\sin{\theta}-\omega t)} \\ &=\hat{\mathbf{x}}E_{1}(e^{iky\cos{\theta}}-e^{-iky\cos{\theta}})e^{i(kz\sin{\theta}-\omega t)} \\ &=\hat{\mathbf{x}}2iE_{1}\sin{(ky\cos{\theta})}\,e^{i(kz\sin{\theta}-\omega t)} \\ &\equiv \hat{\mathbf{x}}E_{0}\sin{(ky\cos{\theta})}\,e^{i(kz\sin{\theta}-\omega t)} \end{aligned} )] }}} 으로 쓸 수 있다. 이 때, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle k_{c} \equiv k\cos{\theta} \qquad \qquad k_{g} \equiv k\sin{\theta} )] }}} 이라 하자. [math(\mathbf{E_{1}}+\mathbf{E_{1}'} \equiv \mathbf{E} )]이라 하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{E} = \hat{\mathbf{x}}E_{0}\sin{(k_{c} y)}\,e^{i(k_{g}z-\omega t)} )] }}} 로 쓸 수 있다. 이제부터 정의했던 [math(k_{c})]와 [math(k_{g})]가 어떤 물리적 의미가 있는 지 논의해보도록 하자. 정의했던 식에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle k_{c}^{2}+k_{g}^{2}=k^{2} )] }}} 으로 쓸 수 있고, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle k_{g}^{2}=k^{2}-k_{c}^{2} )] }}} 이라 쓸 수 있다. 일반적으로 파수는 양수라는 점에 비쳐봤을 때, [math(kk_{c})]를 만족하는 파만 도파관 내에서 전파될 수 있음을 얻는다. 이 때, 파장과 파수와의 관계를 이용하여, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle k_{g}=\sqrt{\left( \frac{2\pi}{\lambda} \right)^{2}-\left( \frac{2\pi}{\lambda_{c}} \right)^{2}} )] }}} 의 형태로 쓸 수 있다. 이 때, [math(\lambda < \lambda_{c})]를 만족하지 않으면, 파수는 허수가 되므로 감쇠된 채 도파관 내부로 전파될 수 없다. 따라서 여기서 나온 [math(\lambda_{c})]를 '''차단 파장(Cut-off wavelength)'''이라 한다. 위에서의 각종 관계를 이용하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \lambda_{c}=\frac{\lambda}{\cos{\theta}} )] }}} 임을 쉽게 증명할 수 있다. 또한, 파수와 주파수 표현을 빌려, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle k_{g}=\sqrt{\left( \frac{\omega}{c} \right)^{2}-\left( \frac{\omega_{c}}{c} \right)^{2}} \qquad \left( \frac{\omega_{c}}{c} \equiv k_{c} \right) )] }}} 으로 쓸 수 있고, 여기서도 [math(\omega > \omega_{c})]를 만족하는 파만이 감쇠되지 않고, 도파관 내부에서 전파될 수 있음을 얻는데, 여기서 나온 [math(\omega_{c})]를 '''차단 주파수(Cut-off frequency)'''라 한다. 이제부터 경계 조건을 적용하자. 맨 위에서 구했던 유전체 - 금속 경계면의 경계 조건을 쓰자. 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{E} \cdot \hat{\mathbf{t}}=0 )] }}} 그런데 [math(\mathbf{E})]는 금속 경계면에 이미 수평인 성분만 남아있으므로 경계면인 [math(y=0)]과 [math(y=a)]에서 전기장은 0이 돼야 한다. 계산을 해보면, [math(y=0)]에서는 이 조건을 만족하며, [math(y=a)]에서 이 조건을 만족하려면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \sin{(k_{c} a)}=\sin{(ka\cos{\theta})}=0 )] }}} 을 만족해야 하고, 위에서 서술했던 여러 가지 정보를 취합하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \cos{\theta}=\frac{n \pi}{ka} \qquad (n=0,\,1,\,2,\, \cdots) )] }}} 을 만족애햐 한다는 것을 얻는다. 이 때, [math(n)]일 때의 모드를 [math(\mathrm{TE}_{n})]모드라 하며, 전기장은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{E} = \hat{\mathbf{x}}E_{0}\sin{\left(\frac{n \pi}{a}y \right)}\,e^{i(k_{g}z-\omega t)} )] }}} 으로 쓸 수 있는데, 만약, [math(n=0)]이라면, 모든 [math(y)]에 대하여 전기장 값은 0이 된다. 따라서 이 경우는 도파관 내 전자기파가 전파되지 않는다는 말과 같고, 전파될 수 있는 조건을 주 목적으로 두고 있으므로 [math(n=0)]의 경우는 제외해야 한다. 따라서 도파관 내에 전자기파가 전파되기 위해선 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \cos{\theta}=\frac{n \pi}{ka} \qquad (n=1,\,2,\,3,\, \cdots) )] }}} 의 조건만 된다. 이 때, 쉽게 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \lambda_{c}=\frac{2a}{n} )] }}} 임을 증명할 수 있으며, 결론적으로 도파관 파장은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \lambda_{g}= \left[ \frac{1}{\lambda^{2}}- \left( \frac{2a}{n} \right)^{2} \right]^{-1/2} )] }}} 임을 알 수 있다. 이상에서 위의 내용을 요약하면 아래와 같다. * 평행판 도파관에 TE 파를 입사시켰을 때, [math(\cos{\theta}={n \pi}/{ka})]를 만족하는 파만이 전파될 수 있으며, 전파될 수 있는 가장 낮은 모드는 [math(\mathrm{TE}_{1})]모드이다. * 도파관 내에서 전파될 수 없는 파장의 최솟값을 '차단 파장'이라 하며, 폭이 [math(a)]인 평행판 도파관에서 '차단 파장'은 [math(\displaystyle \lambda_{c}={2a}/{n} )]이며, 이 파장 보다 낮은 파장만이 도파관 내에서 전파될 수 있다. * 도파관 내에서는 진공에서와 달리 파장이 달리지며, 도파관 내의 파장을 '도파관 파장'이라 하며, [math(\displaystyle \lambda_{g}= [ \lambda^{-2}- \left( {2a}/{n} \right)^{2} ]^{-1/2} )]의 관계를 갖고 있다. 이번에는 도파관 내에 전파되는 [[자기장 세기]]를 구해보도록 하자. 전자기파는 기본적으로 전기장의 유도가 자기장을 만들기 때문에 자기장 세기 또한 다음과 같은 항에 비례할 것이다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{H} \propto e^{i(k_{g}z-\omega t)} )] }}} [[패러데이 법칙]]에 의하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}=- \mu_{0} \frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t}=i \omega \mu_{0} \mathbf{H})] }}} 가 되므로 도파관 내의 자기장 세기는 아래가 됨을 쉽게 증명할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{H}=\frac{E_{0}}{\mu_{0} \omega} [\hat{\mathbf{y}} k_{g}\sin{(k_{c}y)}+\hat{\mathbf{z}} ik_{c}\cos{(k_{c}y)}]\,e^{i(k_{g}z-\omega t)} )] }}}저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기